pompe

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
wiczeniazGeometriiI,czerwiec2006r. WaldemarPompe
Cechyprzystawaniatrójk¡tów
D
Q
C
1.
Punkt
P
le»ynaprzek¡tnej
AC
kwadratu
ABCD
(rys.1).
Punkty
Q
i
R
s¡rzutamiprostok¡tnymipunktu
P
odpowied-
nionaproste
CD
i
DA
.Wykaza¢,»e
BP
=
RQ
.
R
P
2.
Danyjesttrójk¡tostrok¡tny
ABC
,przyczym
<
)
ACB
=45
.
Wysoko±citrójk¡ta
ABC
przecinaj¡si¦wpunkcie
H
(rys.2).
Wykaza¢,»e
CH
=
AB
.
A B
rys.1
C
3.
Nabokach
BC
,
CA
i
AB
trójk¡ta
ABC
zbudowanopo
jegozewn¦trznejstronietrójk¡tyrównoboczne
BCD
,
CAE
i
ABF
(rys.3).Wykaza¢,»e
AD
=
BE
.
H
A B
rys.2
4.
Punkty
P
i
Q
le»¡odpowiednionabokach
BC
i
CD
kwa-
dratu
ABCD
,przyczym
<
)
PAQ
=45
(rys.4).Dowie±¢,»e
BP
+
DQ
=
PQ
.
C
D
E
5.
Danyjestczworok¡twypukły
ABCD
,wktórym
<
)
DAB
=
<
)
ABC.
Symetralneodcinków
AD
i
BC
przecinaj¡si¦wpunkcie
M
le»¡cymnaodcinku
AB
(rys.5).Udowodni¢,»e
AC
=
BD
.
A B
rys.3
D
Q
C
P
6.
Danyjesttrójk¡t
ABC
,wktórym
<
)
A
=90
oraz
AB
=
AC
(rys.6).Punkt
M
jest±rodkiemboku
AB
.Prostaprzecho-
dz¡caprzezpunkt
A
iprostopadładoprostej
CM
przecina
bok
BC
wpunkcie
P
.Wykaza¢,»e
<
)
AMC
=
<
)
BMP
.
45
A B
rys.4
D
C
A B
M
rys.5
C
P
A B
M
rys.6
1
wiczeniazGeometriiI,czerwiec2006r. WaldemarPompe
7.
Danyjesttrójk¡t
ABC
,wktórym
<
)
A
=90
oraz
AB
=
AC
(rys.7).Punkty
D
i
E
le»¡naboku
AC
,przyczym
AD
=
CE
.
Prostaprzechodz¡caprzezpunkt
A
iprostopadładoprostej
BD
przecinabok
BC
wpunkcie
P
.Wykaza¢,»e
<
)
PEC
=
<
)
BDA.
C
P
E
D
A B
rys.7
8.
Nabokach
BC
i
CA
trójk¡ta
ABC
zbudowanopojego
zewn¦trznejstroniekwadraty
BCDE
oraz
CAFG
(rys.8).
Prostaprzechodz¡caprzezpunkt
C
iprostopadładopro-
stej
DG
przecinaodcinek
AB
wpunkcie
M
.Udowodni¢,»e
AM
=
MB
.
D
G
E
C
9.
Nabokach
BC
,
CA
i
AB
trójk¡ta
ABC
zbudowanopo
jegozewn¦trznejstronietrójk¡tyrównoboczne
BCD
,
CAE
i
ABF
(rys.9).Naboku
AB
zbudowanopowewn¦trznejstro-
nietrójk¡ta
ABC
takitrójk¡t
ABF
,»e
<
)
BAF
=
<
)
ABF
=30
.
Dowie±¢,»e
DF
=
EF
.
A B
F
A B
M
rys.8
C D
E
F
rys.9
C
10.
Punkty
D
i
E
le»¡odpowiednionabokach
BC
i
AB
trójk¡tarównobocznego
ABC
,przyczym
BE
=
CD
(rys.10).
Punkt
M
jest±rodkiemodcinka
DE
.Wykaza¢,»e
BM
=
1
2
AD.
D
M
A B
E
rys.10
11.
Danyjesttrójk¡t
ABC
,wktórym
<
)
A
=90
oraz
AB
=
AC
(rys.11).Punkty
D
i
E
le»¡odpowiednionabokach
AB
i
AC
,przyczym
AD
=
CE
.Prostaprzechodz¡caprzezpunkt
A
iprostopadładoprostej
DE
przecinabok
BC
wpunkcie
P
.Wykaza¢,»e
AP
=
DE
.
C
E
P
12.
Danyjesttrójk¡t
ABC
,wktórym
<
)
ACB
=60
oraz
AC<BC.
Punkt
D
le»ynaboku
BC
,przyczym
BD
=
AC
(rys.12).
Punkt
E
jestpunktemsymetrycznymdopunktu
A
wzgl¦dem
punktu
C
.Udowodni¢,»e
AB
=
DE
.
A B
D
rys.11
E
C
60
D
A B
rys.12
13.
Prostok¡t
ABCD
,wktórym
AB
=3
·
AD
podzielonona
trzykwadraty:
AEFD
,
EGHF
oraz
GBCH
(rys.13).Wy-
kaza¢,»e
D
F
H
C
<
)
AED
+
<
)
AGD
+
<
)
ABD
=90
.
A B
E
G
rys.13
2
wiczeniazGeometriiI,czerwiec2006r. WaldemarPompe
14.
Wsze±ciok¡ciewypukłym
ABCDEF
wszystkiebokis¡
równejdługo±cioraz
<
)
A
+
<
)
C
+
<
)
E
=
<
)
B
+
<
)
D
+
<
)
F.
Dowie±¢,»eprzek¡tne
AD
,
BE
i
CF
przecinaj¡si¦wjednym
punkcie.
E
F
D
A
C
B
rys.14
3
wiczeniazGeometriiI,czerwiec2006r. WaldemarPompe
D
K¡tywokr¦gu
E
O
15.
Naprzeciwprostok¡tnej
BC
trójk¡taprostok¡tnego
ABC
zbudowanopozewn¦trznejstroniekwadrat
BCDE
(rys.15).
Niech
O
b¦dzie±rodkiemtegokwadratu.Wykaza¢,»e
<
)
BAO
=
<
)
CAO.
A B
C
rys.15
C
16.
Danyjesttrójk¡tostrok¡tny
ABC
,przyczym
<
)
ACB
=
60
(rys.16).Punkty
D
i
E
s¡rzutamiprostok¡tnymiodpo-
wiedniopunktów
A
i
B
naproste
BC
i
AC
.Punkt
M
jest
±rodkiemboku
AB
.Wykaza¢,»etrójk¡t
DEM
jestrówno-
boczny.
D
E
A B
M
rys.16
C
17.
Punkt
O
jest±rodkiemokr¦guopisanegonatrójk¡cie
ABC
(rys.17).Punkt
D
jestrzutemprostok¡tnympunktu
C
naprost¡
AB
.Wykaza¢,»e
<
)
ACD
=
<
)
BCO.
O
18.
Punkt
H
jestpunktemprzeci¦ciawysoko±citrójk¡taostro-
k¡tnego
ABC
(rys.18).Wykaza¢,»epunktysymetrycznedo
punktu
H
wzgl¦demprostych
AB
,
BC
,
CA
le»¡naokr¦gu
opisanymnatrójk¡cie
ABC
.
A B
D
rys.17
C
19.
Punkty
E
i
F
le»¡odpowiednionabokach
AB
i
BC
kwadratu
ABCD
,przyczym
BE
=
BF
(rys.19).Punkt
S
jestrzutemprostok¡tnympunktu
B
naprost¡
CE
.Wykaza¢,
»e
<
)
DSF
=90
.
H
A B
rys.18
D
C
20.
Punkt
E
le»ynaboku
BC
kwadratu
ABCD
(rys.20).
Punkty
P
i
Q
s¡rzutamiprostok¡tnymiodpowiedniopunk-
tów
E
i
B
odpowiednionaproste
BD
i
DE
.Dowie±¢,»e
punkty
A
,
P
,
Q
le»¡najednejprostej.
F
S
A B
E
rys.19
D
C
E
Q
P
A
B
rys.20
4
wiczeniazGeometriiI,czerwiec2006r. WaldemarPompe
21.
Nabokach
BC
,
CA
i
AB
trójk¡ta
ABC
zbudowanopo
jegozewn¦trznejstronietrójk¡tyrównoboczne
BCD
,
CAE
i
ABF
(rys.21).Wykaza¢,»e:
(a)
AD
=
BE
=
CF.
(b)Proste
AD
,
BE
i
CF
przecinaj¡si¦wjednympunkcie.
(Punktwspólnyprostych
AD
,
BE
i
CF
nazywasi¦
punktem
Toriciellego
trójk¡ta
ABC
.)
C
D
E
A B
F
rys.21
D
C
22.
Punkt
E
le»ynaboku
BC
kwadratu
ABCD
.Czworok¡t
BFGE
jestkwadratemzbudowanymnazewn¡trzkwadratu
ABCD
(rys.22).Wykaza¢,»eproste
AE
,
CF
i
DG
przeci-
naj¡si¦wjednympunkcie.
E
G
A B
F
rys.22
23.
Nabokach
BC
i
AC
trójk¡taostrok¡tnego
ABC
zbu-
dowano,pozewn¦trznejstronie,kwadraty
BCFE
i
ACGH
(rys.23).Udowodni¢,»eproste
AF
,
BG
i
EH
przecinaj¡si¦
wjednympunkcie.
F
G
C
E
24.
Punkt
P
le»ywewn¡trzrównoległoboku
ABCD
,przy
czym
<
)
ABP
=
<
)
ADP
(rys.24).Dowie±¢,»e
<
)
DAP
=
<
)
DCP.
H
A B
rys.23
D
C
25.
Naczworok¡cie
ABCD
jestopisanyokr¡go±rednicy
AB
(rys.25).Punkt
E
jestsymetrycznydopunktu
A
wzgl¦dem
±rodkaodcinka
CD
.Dowie±¢,»eproste
CD
i
BE
s¡prosto-
padłe.
P
A B
rys.24
E
D
C
A B
rys.25
5
[ Pobierz całość w formacie PDF ]

zanotowane.pl

doc.pisz.pl

pdf.pisz.pl

fotocafe.xlx.pl