pochodna

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
1
Pochodnafunkcji
Definicja
Niech
x
0
2
R
oraz niech funkcja
f
b¦dzie okre±lona
przynajmniej w pewnym otoczeniu punktu
x
0
. Ponadto niech
x
b¦dzie takie, »e
x
=
x
0
+
x
nale»y do tego otoczenia.
Liczb¦
x
nazywamy wówczas
przyrostemargumentu
, a róznic¦
f
=
f
(
x
0
+
x
)
−
f
(
x
0
)
nazywamy odpowiednio
przyrostem
funkcji
, który w punkcie
x
0
odpowiada przyrostowi argumentu
x
.
Stosunek
f
x
=
f
(
x
0
+
x
)
−
f
(
x
0
)
x
nazywamy
ilorazemró»nicowym
funkcji
f
w punkcie
x
0
,
odpowiadaj¡cym przyrostowi argumentu
x
.
 2
Definicja
Pochodn¡funkcji
f
wpunkcie
x
0
nazywamy granic¦
wła±ciw¡ (o ile istnieje) ilorazu ró»nicowego tej funkcji w punkcie
x
0
,
x
d¡»y do zera i oznaczamy j¡ symbolem
f
0
(
x
0
)
,
gdy przyrost
tzn.
f
f
(
x
0
+
x
)
−
f
(
x
0
)
x
de
=
f
0
(
x
0
)
lim
x
=
lim
x
!
0
x
!
0
0
@
f
0
(
x
0
)
1
f
(
x
)
−
f
(
x
0
)
x
−
x
0
A
.
=
lim
x
!
x
0
Wyznaczy¢ z definicji
f
0
(1)
dla funkcji
f
(
x
) =
x
2
−
x
.
Przykład
 3
Uwaga
Pochodn¡prawostronn¡(lewostronn¡)funkcji
f
w
punkcie
x
0
nazywamy granic¦ prawostronn¡ (lewostronn¡) ilorazu
ró»nicowego tej funkcji w punkcie
x
0
x
d¡»y do
, gdy przyrost
zera i oznaczamy j¡ symbolem
f
0
+
(
x
0
)
(
f
0
−
(
x
0
)
), tzn.
f
f
(
x
0
+
x
)
−
f
(
x
0
)
x
de
=
f
0
+
(
x
0
)
lim
x
=
lim
x
!
0
+
x
!
0
+
f
f
(
x
0
+
x
)
−
f
(
x
0
)
x
de
=
f
0
−
(
x
0
)
lim
x
=
lim
.
x
!
0
−
x
!
0
−
Pochodna funkcji
f
w punkcie
x
0
Uwaga
istnieje wtedy i tylko
wtedy, gdy istniej¡ obie pochodne jednostronne w tym punkcie i s¡
sobie równe. Oczywi±cie
f
0
(
x
0
)
jest równa tej wspólnej warto±ci.
 4
Interpretacjageometrycznapochodnejfunkcji
f
0
(
x
0
)
=
tg
=
f
0
(
x
0
)
·
(
x
−
x
0
)
y
−
f
(
x
0
)
Równanie kierunkowe prostej stycznej
do wykresu funkcji
f
w punkcie o odci¦tej
x
0
5
Pochodnajakofunkcja
Je»eli funkcja
f
ma pochodn¡ w ka»dym punkcie
Definicja
pewnego zbioru, to przyporz¡dkowanie, które ka»demu punktowi
x
tego zbioru przyporz¡dkowuje pochodn¡ funkcji
f
w tym punkcie,
jest now¡ funkcj¡, okre±lon¡ w tym zbiorze. Nazywamy j¡
funkcj¡
pochodn¡
lub po prostu
pochodn¡funkcji
f
i oznaczamy
f
0
lub
df
dx
.
Wyznaczy¢ z definicji pochodne funkcji:
f
(
x
) =
x
3
Przykład
,
f
(
x
) =
p
x
,
f
(
x
) = sin
x
,
f
(
x
) =
a
x
.
Załó»my, »e funkcje
f
i
g
s¡ okre±lone i maj¡
Przykład
pochodne w pewnym zbiorze. Wyznaczy¢ z definicji pochodne funkcji:
f
g
f
+
g
,
f
−
g
,
c
·
f
,
f
·
g
,
(
g
(
x
)
6
= 0
) w dowolnym
punkcie tego zbioru.
  [ Pobierz całość w formacie PDF ]

zanotowane.pl

doc.pisz.pl

pdf.pisz.pl

fotocafe.xlx.pl