podst wz rach bl, Fizyka, wzory rachunku błędu
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Podstawowe wzory rachunku błędów
(poradnik do przedmiotów – Pracownia Fizyczna)
opracowanie:
Marek Brancewicz
Wydział Fizyki
Zakład Fizyki Ciała Stałego
Uniwersytet w Białymstoku
wersja z dn. 22.03.2010
Spis treści
1 Pomiar i błąd pomiaru.......................................................................................2
1.1 Proste przyrządy mechaniczne..................................................................................2
1.2 Klasa przyrządu pomiarowego...................................................................................2
2 Niepewność standardowa pomiarów bezpośrednich.................................................3
2.1 Średnia..............................................................................................................3
2.2 Średnia ważona....................................................................................................3
3 Niepewność standardowa pomiarów pośrednich (prawo przenoszenia niepewności).........4
3.1 Kowariancja i korelacja...........................................................................................4
3.2 Niepewność standardowa dla pomiarów pośrednich nieskorelowanych...................................4
3.3 Niepewność standardowa dla pomiarów pośrednich skorelowanych.......................................4
4 Regresja liniowa (dopasowanie zależności liniowej metodą najmniejszych kwadratów)....6
5 Wizualizacja wyników.......................................................................................7
5.1 Zaokrąglanie wyników............................................................................................7
5.2 Zasady sporządzania wykresów zależności....................................................................7
6 Literatura......................................................................................................8
1
Pomiar i błąd pomiaru
1 Pomiar i błąd pomiaru
1.1 Proste przyrządy mechaniczne
Powszechnie uważa się, że w przypadku pomiarów za pomocą prostych przyrządów
mechanicznych (tj. linijka, suwmiarka, termometr cieczowy) dokładność jest równa wartości
najmniejszej działki skali zwanej działką elementarną i jest przyjmowana jako pierwsze
przybliżenie dla niepewności standardowej. Ocena ta może być skorygowana w górę lub w dół
zgodnie z posiadaną wiedzą i doświadczeniem; np. mierząc linijką średnicę monety możemy
standardową niepewność zmniejszyć do
0,5mm
(wyraźnie widać), lecz przy pomiarze pokoju taśmą
mierniczą z podziałką milimetrową na pewno niepewność pomiaru jest większa niż
1mm
.
1.2 Klasa przyrządu pomiarowego
W przypadku pomiarów zwłaszcza bardziej skomplikowanymi technologicznie
urządzeniami nie zawsze dokładność pomiaru mieści się w granicach działki elementarnej. Zależy
to od klasy przyrządu pomiarowego, która jest określana przez producenta. Dlatego też
profesjonalne przyrządy pomiarowe doskonałej klasy przeznaczone do dokładnych pomiarów są
dużo droższe od prostych mierników (zaawansowana technologia i precyzja zwiększają koszty
produkcji)
Klasą przyrządu pomiarowego
kl
nazywamy wyrażony w procentach stosunek
maksymalnego błędu bezwzględnego
max
do zakresu pomiarowego
Z
:
Z
⋅100
o
/
o
2
kl
=
x
max
Niepewność standardowa pomiarów bezpośrednich
2 Niepewność standardowa pomiarów bezpośrednich
2.1 Średnia
Średnia arytmetyczna serii
N
pomiarów
x
1,
x
2,
...
, x
N
wielkości fizycznej
X
:
x
=
1
N
∑
i
=1
N
x
i
.
Błąd bezwzględny
j
−
tego
pomiaru wielkości fizycznej
X
jest równy:
j
=
x
j
−
x
.
Błędem względnym
w
wartości zmierzonej
x
j
nazywamy stosunek błędu
bezwzględnego
j
do wartości średniej
x
:
w
=
j
x
.
Błąd względny wyrażony w procentach nazywamy błędem procentowym.
Średni błąd
x
pojedynczego pomiaru skończonej serii
N
pomiarów wielkości
fizycznej
X
nazywamy odchyleniem standardowym i wynosi on:
1
N
−1
∑
i
=1
N
1
N
−1
∑
i
=1
N
x
=
x
i
−
x
2
=
i
2
.
Średni błąd
x
wartości średniej
x
skończonej serii
N
pomiarów wielkości
fizycznej
X
wynosi:
x
=
x
1
N
N
−1
∑
i
=1
N
1
N
N
−1
∑
i
=1
N
N
=
x
i
−
x
2
=
i
2
.
2.2 Średnia ważona
∑
i
=1
N
w
i
x
i
x
w
=
∑
i
=1
w
i
i
2
- wagi poszczególnych pomiarów
x
w
=
1
w
i
=
1
∑
i
=
N
- niepewność (błąd) średniej ważonej
w
i
3
N
Niepewność standardowa pomiarów pośrednich (prawo przenoszenia niepewności)
3 Niepewność standardowa pomiarów pośrednich (prawo
przenoszenia niepewności)
Z pomiarami pośrednimi mamy do czynienia, gdy dokonuje się pomiarów bezpośrednich
kilku wielkości
x
1
, x
2
,
...
, x
k
a następnie na ich podstawie wyznacza wielkość
y
określona
przez związek funkcyjny:
y
=
f
x
1
, x
2
,
...
, x
k
.
3.1 Kowariancja i korelacja
Kowariancja dla
N
par pomiarów pośrednich
x
1
, y
1
,
x
2
, y
2
,
...
,
x
N
, y
N
pewnej
wielkości fizycznej wyraża się wzorem:
xy
=
1
N
∑
i
=1
N
x
i
−
x
y
i
−
y
.
Współczynnik korelacji liniowej:
∑
i
=1
N
r
xy
=
xy
x
i
−
x
y
i
−
y
x
y
=
∑
i
=
N
x
i
−
x
2
y
i
−
y
2
.
Wartości
r
xy
zbliżone do -1 lub 1 wskazują na istnienie wyraźnej korelacji liniowej,
wartości bliskie 0 wskazują na słabą korelację lub jej brak.
3.2 Niepewność standardowa dla pomiarów pośrednich nieskorelowanych
∑
i
=1
k
∂
f
2
y
=
∂
x
i
i
W uzasadnionych przypadkach można stosować metodę, która jednak przeszacowuje
wielkość błędu opisanego powyższym wzorem (w szczególnych przypadkach daje ten sam wynik).
Jest ona nazywana metodą różniczki zupełnej i wyraża maksymalny błąd wielkości złożonej:
max
=
∑
i
=1
k
∣
∂
f
∂
x
i
i
∣
.
3.3 Niepewność standardowa dla pomiarów pośrednich skorelowanych
Uwzględnia się korelacje zachodzące pomiędzy wielkościami mierzonymi bezpośrednio:
∑
i
=1
∑
j
=1
∂
f
∂
x
i
∂
f
∑
i
=1
k
∂
f
2
2
∑
i
=1
k
∑
j
≠
i
k
∂
f
∂
x
i
∂
f
y
=
∂
x
j
ij
=
∂
x
i
i
∂
x
j
ij
,
4
k
k
Niepewność standardowa pomiarów pośrednich (prawo przenoszenia niepewności)
gdzie
ij
oznacza kowariancję wielkości
x
i
, x
j
. Wprowadzając współczynniki korelacji:
r
ij
=
ij
,
wyrażenie przyjmuje postać:
∑
i
=1
∂
f
2
2
∑
i
=1
∑
j
=
i
1
k
∂
f
∂
x
i
∂
f
y
=
∂
x
i
i
∂
x
j
i
j
r
ij
5
i
j
k
k
−1
[ Pobierz całość w formacie PDF ]