pochzippowt0708, Budownictwo-studia, Matematyka
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
POCHODNA FUNKCJI . ZASTOSOWANIE POCHODNYCH.
e
4
x
3
2
sin
2
x
1. Obliczyć pochodne funkcji: a)
f
(
x
)
=
(
+
4
x
+
4
)
⋅
tg
x
b)
f
(
x
)
=
c)
f =
(
x
)
arc
sin
x
3
cos
2
x
tg
3
x
d)
f = e)
(
x
)
f
(
x
)
=
x
−
1
−
x
2
⋅
arc
sin
x
f)
f
(
x
)
=
cos
x
⋅
1
+
sin
2
x
g)
f
(
x
)
=
sin(
x
2
⋅
)
ln
2
x
e
cos
2
x
a
h)
f
(
x
)
=
x
2
−
a
2
−
aarc
cos
i)
f
(
x
)
=
3
sin
x
⋅
cos
2
x
j)
f =
(
x
)
arc
tg
ctg
3
x
a
x
⎛
x
⎞
k)
f
(
x
)
=
sin(
x
2
)
⋅
ln
2
x
l)
f
(
x
)
= m)
⎝
⎠
f = n)
( )
(
x
)
x
arc
sin
x
f =
(
x
)
ln
x
cos
2
x
.
a
2. Sprawdzić, że podana niżej funkcja
y = spełnia dane obok równanie różniczkowe:
f
(
x
)
a)
y
=
x
2
+
(
x
−
1
e
x
;
x
y
′
=
y
′
+
x
2
e
x
b)
y
=
e
x
sin
x
;
y
′
′
−
2
y
′
+
2
y
=
0
c)
y
=
x
−
5
;
2
y
′
)
2
=
(
y
−
1
y
′
d)
y
=
arc
sin
x
;
(
−
x
2
)
y
′
=
x
′
.
x
+
2
3. Znaleźć wzór funkcyjny n-tej pochodnej funkcji:
a)
f = b)
(
x
)
a
x
f
(
x
)
= c)
log
x
f
(
x
)
= d)
1
f = .
(
x
)
xe
x
a
ax
+
b
4. Stosując regułę de L`Hospitala, obliczyć granice:
x
2
ln(
x
+
1
ln
cos
x
a)
lim
b)
lim
0
c)
lim
0
d)
lim
(
x
2
⋅ e)
e
−
x
2
)
lim
1
[ln
x
ln(
1
−
x
)]
x +∞
→
ln
x
x
→
x
x→
x
x
→
+∞
−
x
→
1
1
⎛
x
1
⎞
⎛
1
1
⎞
f)
lim
(
x
⋅
e
x
)
g)
lim
x
[
x
(
arc
ctg
x
−
π
)
h)
lim
[
x
⋅
(
e
x
−
1
)]
i)
lim
1
⎝
−
⎠
j)
lim
⎝
−
⎠
.
+
→
−∞
x
→
∞
x
→
x
−
1
ln
x
x
→
0
x
e
x
−
1
x
→
0
5. Wyznaczyć dziedzinę, przedziały monotoniczności i ekstrema funkcji:
x
3
3
= d)
ln
x
x
2
a)
f
(
x
)
= b)
f
(
x
)
= c)
xe
−
x
2
f
(
x
)
f
(
x
)
=
x
2
⋅
ln
2
x
e)
f
(
x
)
=
−
3
ln(
x
−
2
.
x
2
−
1
x
2
6. Napisać wzór Taylora funkcji f (x) w punkcie x
o
dla podanego n ( reszta jest n-tego rzędu):
a)
f
(
x
)
=
e
x
,
x
=
−
1
n
=
5
b)
f
(
x
)
=
x
,
x
=
2
n
=
4
, c)
f
(
x
)
=
sin
π
x
,
x
=
2
n
=
5
.
0
x
−
1
0
4
0
7. Napisać wzór Maclaurina funkcji
f = dla
(
x
)
e
x
n = . Na podstawie tego wzoru obliczyć przybliżoną
5
wartość liczby
4
1
i oszacować błąd przybliżenia.
e
n = . Na podstawie tego wzoru obliczyć
przybliżoną wartość liczby 1 i oszacować błąd przybliżenia.
f
(
x
)
= dla
1
+
x
4
9. Napisać wzór Maclaurina funkcji
f
(
x
)
=
ln(
x
+
1
dla
n = . Wykorzystując ten wzór, obliczyć
6
przybliżoną wartość liczby
⎠
ln
⎝
5
⎞
, a następnie oszacować błąd przybliżenia.
4
10. Napisać wzór Maclaurina funkcji
f = dla
(
x
)
cos
x
n = . Na podstawie tego wzoru obliczyć
5
przybliżoną wartość liczby
cos
10
o
.
8. Napisać wzór Maclaurina fu
nkc
ji
⎛
[ Pobierz całość w formacie PDF ]