pochodna funkcji, Studia, MECHANIKA I BUDOWA MASZYN, Matematyka
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Korelacja nauczania matematyki i fizyki
w zakresie pochodnej funkcji.
Przeglądając oficjalne programy nauczania i podręczniki do matematyki i fizyki w szkole
średniej, widać, że w zakresie pochodnej, korelacja żadna nie występuje. Jest tak dlatego,
ponieważ nauczyciele matematyki, zanim będą mogli wprowadzić granice i pochodne, muszą
najpierw zapoznać uczniów z wieloma bardziej podstawowymi pojęciami, takimi jak: zbiór
liczb rzeczywistych, funkcja liniowa, funkcje trygono metryczne, własności figur, wektory,
funkcje kwadratowe.
Nauczyciele fizyki używają zaś pojęć granica i pochodna dużo wcześniej, bez formalnego ich
wprowadzenia. W podręczniku fizyki do kl. I liceum ogólnokształcącego, na str. 24, widzimy
rysunek samochodu poruszającego się po krzywoliniowym odcinku drogi z zaznaczonymi
wektorami prędkości. Tekst objaśniający tę sytuację brzmi następująco:
“Wektor prędkości chwilowej definiujemy następująco:
W
ruchu krzywoliniowym prędkość chwilowa ma kierunek stycznej do toru a zwrot taki jak
przemieszczenie.
Praktycznie wiele przypadków ruchu krzywoliniowego traktujemy w sposób uproszczony,
sprowadzając je do ruchu prostoliniowego.”
Na dalszych stronach podręcznika wielokrotnie pojawiają się wykresy funkcji z
zaznaczonymi stycznymi i obliczenia ich współczynnika kierunkowego przy pomocy funkcji
tangens Pojawiają się również rysunki przedstawiające wykresy funkcji z zaznaczonym
polem pod wykresem wraz z interpretacją fizyczną tego pola. Wszystko to w podręczniku do
kl.I LO.
Matematycy powinni być, i chyba są, wdzięczni nauczycielom fizyki, że już w klasie
pierwszej ich uczniowie zapoznani są z granicami, z rachunkiem różniczkowym i cał kowym
oraz z wektorami i funkcjami trygonometrycznymi. Zresztą nie po raz pierwszy fizycy
wyprzedzają matematyków. Już Newton, gdy potrzebował narzędzi matematycznych do
badań fizycznych, wprowadził swoje
fluenty
i
fluksje
, czyli funkcje i pochodne.
Jednak nauczyciele fizyki chcą czegoś od matematyków. W tym samym podręczniku, na
str.45, przedstawiono wykres położenia ciała w zależności od czasu z zaznaczonym punktem
na wykresie i styczną w tym punkcie. Tekst opisujący ten rysunek brzmi następująco:
“Jakie wielkości fizyczne możemy z niego odczytać? Bezpośrednio odczytujemy położenie.
Natomiast pośrednio przebieg wykresu dostarcza danych umożliwiających obliczanie
prędkości. Prędkość jest równa tangensowi kąta zawartego między styczną do krzywej a osią
czasu*.”
*)“Zależność ta wynika z własności funkcji. Poznacie ją lepiej na lekcjach matematyki.”
No właśnie. Trzeba coś zrobić, aby pochodna, która jest konieczna do nauczania fizyki już w
kl. I, była zrozumiała na wczesnym etapie nauczania w szkole średniej. Wydaje się, że ze
względów metodycznych, chcąc zachować zasady nauczania, w szczególności zasadę
przystępności nauczania, nauczyciele matematyki, ewentualnie nauczyciele fizyki, jeśli nie
potrafią dogadać się z matematykami, powinni na początku kl. I, omów ić przykłady i podać
wykresy funkcji liniowych, kwadratowych i trygonometrycznych, a następnie zapoznać
uczniów z tą tajemniczą własnością, pozwalającą z wykresu drogi obliczać prędkość.
Jak to można zrobić?
Przedstawiamy propozycję wprowadzenia pojęcia p ochodnej przy
pomocy komputera.
Weźmy na początek funkcję
y=x
2
-4x-2.
Rys.1 potraktujmy jako wykres zależności drogi y od
czasu x. Spróbujmy z tego wykresu odczytać prędkość ciała w punkcie
x
o
=3
. Do sporządzania
wykresów można wykorzystać program
wyk-sk-r.exe
.
Rys.1.Wykres funkcji y=x2-4x-2 w skali 1.
Z rys.1 widać, że wartość funkcji w punkcie
3
wynosi
-5
zaś w otoczeniu tego punktu funkcja
jest rosnąca, jednak kierunek wzrastania i jego liczbowa wartość są trudne do określenia
ponieważ kształt wykresu i przyrosty funkcji z obu stron punktu są różne. Proponujemy więc
wykonać, przy pomocy dowolnego programu komputerowego, pozwalającego powiększać
wykresy i zmieniać siatkę układu współrzędnych, serię wykresów funkcji
y=x2-4x-2
w
otoczeniu punktu
3
, przyjmując coraz większe skale powiększenia - rys.2.
Rys.2.Wykresy funkcji y=x2-4x-2 w otoczeniu punktu 3 w skalach 1, 5, 10, 100.
Z ostatniego wykresu, na rys.2, wyraźnie widać, że przebieg funkcji, w otoczeniu punktu
3
,
jest prostoliniowy i kierunek tej prostej wynosi
2
. Liczbę tę otrzymujemy, licząc ile oczek
siatki przypada na każde oczko przyrostu argumentu.
I to już wszystko!
Liczba 2 jest poszukiwaną prędkością. Jest to pochodna funkcji y=x
2
-
4x-2 w punkcie x
o
=3.
Ogólnie więc, aby wyznaczyć pochodną funkcji y=f(x) w punkcie x
o
, należy powiększać
wykres funkcji w otoczeniu tego punktu, aż do momentu, gdy stanie się on prostą i
wtedy wartość współczynnika kierunkowego tej prostej będzie pochodną funkcji w tym
punkcie.
Pokażemy to jeszcze na przykładzie funkcji y=sin(x) w punkcie 1. Oto odpowiednia seria
wykresów:
Rys.3. Wykresy funkcji y=sin(x) w otoczeniu punktu 1 w skalach 1, 5, 5 0, 1000
Z ostatniego wykresu możemy odczytać pochodną jako wartość współczynnika kierunkowego
prostej. Oczka siatki prostokątnej są tak dobrane, aby prosta przechodziła przez węzły siatki.
Mają one wymiary 150 na 81 pikseli i stąd współczynnik kierunkowy j est równy =
0.5400.
Zatem 0.54 jest pochodną funkcji y=sin(x) w punkcie 1.
Oczywiście jest to wartość
przybliżona, ponieważ posługujemy się niezbyt precyzyjną miarą jaką są piksele na ekranie
komputera.
Zobaczmy teraz, jak przy tym sposobie wyznaczania pochodnej, można odpowiedzieć na
niektóre pytania, które zwykle się zadaje przy wprowadzaniu pochodnej.
Czy pochodna (prędkość) w jakimś punkcie może być równa 0
? Ponieważ pochodna to
współczynnik kierunkowy prostej wzdłuż której, w dużym powiększeniu, przebiega wykres
funkcji, więc na pewno zdarzy się dla jakiejś funkcji, w jakimś punkcie, tak, że prosta ta
będzie miała współczynnik kierunkowy równy 0, czyli będzie rów noległa do osi OX. Np.
nasza poprzednia funkcja,
y=x2-4x-2
w punkcie
x
o
=2
ma wykres równoległy do osi OX -
rys.4, a więc jej pochodna w tym punkcie wynosi
0.
Rys.4. Wykresy funkcji y=x2-4x-2 w skali 1000 w otoczeniu punktu x=2 i x=1.
Również odpowiedź na pytanie:
Czy pochodna (prędkość) może być ujemna?
,
ma
odpowiedź twierdzącą. Wystarczy wziąć tą samą funkcję
y=x2-4x-2,
i wyznaczyć pochodną
w punkcie
x
o
=1
. Otrzymamy wartość ujemną równą
-2
-rys.4.
Inne ważne pytanie brzmi:
Czy zawsze istnieje pochodna (prędkość) w punkcie?
Dla wszystkich “normalnych” funkcji zawsze tak jest. Powiększanie wykresu zawsze w
końcu daje linię prostą. Weźmy więc trochę “nienormalną” funkcję, np. i wykonajmy
powiększenia wykresu tej funkcji w otoczeniu punktu 0. Okazuje się, że nawet przy dużych
skalach wykres ma “ostrze” i nie staje się prosty - rys.5.
Rys.5. Wykresy funkcji
w otoczeniu punktu 0 w skali 1 i w skali 1000.
Należy więc powiedzieć, że funkcja nie ma określonej pochodnej (prędkości) w
punkcie 0. Takich funkcji, mających “ostrza”, czyli nie mających pochodnych w pewnych
punktach, jest wiele i łatwo je produkować przy pomocy wartości bezwzględnej.
Są jeszcze “dziwniejsze” funkcje, które nie tylko w jednym, czy w skończonej liczbie
punktów, nie mają pochodnej, ale nie mają jej w nieskończonej ilości punktów, choć
równocześnie w nieskończonej ilości punktów ją mają. Taką funkcją jest funkcja Riemanna
. Rys.6 przedstawia serię wykresów tej funkcji w
otoczeniu punktu 1.
[ Pobierz całość w formacie PDF ]