podstaw2, POLITECHNIKA, Wytrzymałość materiałów, Wytrzymałość materiałów-zaoczne
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
PODSTAWOWE POJĘCIA, DEFINICJE I ZAŁOŻENIA
6
8. Siły przekrojowe w konstrukcjach prętowych
Pręt
- bryła, której jeden wymiar (długość) jest nieporównywalnie duży w stosunku do dwu
pozostałych (wymiary przekroju poprzecznego)
Oś pręta
- miejsce położenia punktów będących środkami ciężkości przekrojów pręta
płaszczyznami przecinającymi tworzące pręta
Przekrój poprzeczny
- przekrój pręta płaszczyzną prostopadłą do osi pręta-
Zadanie :
Wyznaczyć zredukowany układ sił wewnętrznych { W
II
}, tzn. wyznaczyć wektor
sumy
S
{ W
II
} i wektor momentu
M
o
{ W
II
}.
Zredukowanego układu sił wewnętrznych, poszukujemy w przekroju poprzecznym pręta,
a środkiem redukcji jest środek ciężkości przekroju "O"
P
i
S
{ W }
II
A
i
r
i
O
I
II
M
{ W }
o
II
Rozwiązanie:
Korzystając z twierdzenia o równoważności układu sił zewnętrznych i
wewnętrznych, a także uwzględniając zasadę zesztywnienia, możemy zapisać:
{} {}
S
WP Z
II
=
∑
i
I
M
o
{ }
Wr P Z
II
= ×
∑
i
i
{}
I
Składowe tak wyznaczonego wektora sumy i momentu nazywamy siłami przekrojowymi
(
S
≡
SNQ Q
, ,
z
)
M
o
≡
MM M M
(
x
, ,
y
z
)
Q
y
M
y
N
M
x
y
x
Q
z
z
M
z
8.1. Podstawowe przypadki redukcji
Układ sił zewnętrznych { Z
I
}
≡
{ W
II
} może redukować się w środku ciężkości przekroju
poprzecznego do:
wypadkowej, prostopadłej do przekroju poprzecznego (siła
osiowa, normalna, podłużna
)
ν
ν
N
N
Rozciąganie
Ściskanie
y
PODSTAWOWE POJĘCIA, DEFINICJE I ZAŁOŻENIA
7
wypadkowej, leżącej w płaszczyźnie przekroju poprzecznego (siła
poprzeczna, ścinająca,
tnąca
)
Q
y
Q
z
y
x
Ścinanie
z
pary sił leżącej w płaszczyźnie przekroju poprzecznego, a zatem pary o wektorze momentu
normalnym do przekroju (
moment skręcający
)
≡
M
x
y
x
z
Skręcanie
pary sił leżącej w płaszczyźnie prostopadłej do przekroju poprzecznego, a zatem pary o
wektorze momentu leżącym w płaszcz. przekroju (
moment zginający
)
≡
Zginanie
wzg. osi "z"
y
M
z
M
y
x
≡
z
Zginanie
wzg. osi "y"
9. Statycznie wyznaczalne płaskie konstrukcje prętowe
Definicja:
konstrukcje składające się z prętów, których osie leżą w jednej płaszczyźnie,
obciążone układem sił określonym w tej samej płaszczyźnie i tak połączone z podłożem, że
reakcje podporowe można wyznaczyć na podstawie jedynie równań równowagi.
P
q
α
M
α − α
y
N
I
II
M
Q
x
α
9.1. Reakcje
∑
Z
≡
0
∑
M
ox
≡
0
∑
M
oy
≡
0
∑
X
=
0
∑
Y
=
0
∑ ∑
M
oz
= =
M
0
9.2. Siły przekrojowe
(
SNQ Q
,
≡
y
,
0
) ( )
=
NQ
(
M
0,,
≡=
M M
z
)()
M
,
PODSTAWOWE POJĘCIA, DEFINICJE I ZAŁOŻENIA
8
9.3 Układ własny przekroju poprzecznego
Przy poszukiwaniu sił przekrojowych (poprzez redukcję obciążenia zewnętrznego) rezygnuje się
z globalnego układu współrzędnych (x,y) na rzecz układu lokalnego związanego z przekrojem
poprzecznym. Układ taki nosi nazwę
ukł. własnego
przekroju poprzecznego.
α − α
n
N
N
n
{ W } = { Z }
II
I
Q
Q
n
Q
Q
n
N
{ W } = { Z }
I
N
II
9.4. Konwencja znakowania momentu od pary sił, spody.
" spody "
M
+
M
+
+
+
" spody "
M
M
" spody "
" spody "
Umowa 1:
graficznym reprezentatem momentu od pary sił będzie łuk skierowany. Za dodatni
zwrot momentu przyjmujemy taki, który powoduje rozciąganie dowolnie
wyróżnionych włókien pręta, zwanych
spodami
.
Umowa 2:
Oś liczbową, na której będziemy odkładać wartości momentów przekrojowych
przyjmuje,y w ten sposób, że jest on prostopadła do przyjętych spodów, a jej
dodatni zwrot "jest zgodny ze spodami".
9.5. Obliczanie momentu.
wektora
a
względem punktu O
w zadaniach płaskich
M ( ) = r
o
a
×
a
a
a
d
M ( ) = r
o
a
sin
α
=
α
r
d
r
=
r
=
a d
O
O
r
odobciążenia ciągłego wzg. pkt. O
x
dx
b
q(x)
O
b
=
∫
∫
qxxdx
( )
( )
a
Sqxx
a
⇒
x
c
=
a
C ( x )
b
c
b
( )
x
o
∫
qxdx
a
PODSTAWOWE POJĘCIA, DEFINICJE I ZAŁOŻENIA
9
b
b
b
M
o
=
∫
qxdxx x
( ) ( ) ( )
o
− =
∫
qxx dx qxxdx
o
−
∫
( )
=
a
a
a
b
b
=
xqxxxqxxSxx
o
∫
( )
−
c
∫
( ) ( )
= −
o
c
a
a
Przykład
S
5
O
1
2
1
( )
4/3
2/3
M
o
=××× ×+=
12 5 2 13 2 1 833
.
10. Punkty, przedziały charakterystyczne w konstrukcjach prętowych
H
G
I
C
F
K
AB
DE
Punkty charakterystyczne
- początek, koniec pręta: A, K
- podpory: C, F, K
- punkty przyłożenia obciążenia: B, G, I
- początek i koniec obciążenia ciągłego: D, E
- miejsca zmiany geometrii pręta i punkty nieciągłości: H
Przedziały charakterystyczne
- przedziały położone między pkt. charakteryst.
11. Zależności różniczkowe dla pręta prostego
Definicja:
pręt prosty to pręt, którego oś jest linią prostą.
Q, N
q (x)
q (x)
x
M
Q
Q + d Q
M + dM
M, q
d x
∑
=⇒− −−=
Y
0
Q q x d x Q dQ
()
0
dQ
dx
=−
()
qx
∑
M
o
=⇒ +− −−=
0
Q d x M q x d x
dx
()
2
MdM
0
( )
2
≅ ⇒
0
dM
dx
=
Qx
() ,
dM
dx
2
= −
qx
()
2
Wnioski:
1. jeżeli q=0 to wykres funkcji Q(x) jest stały, a funkcji M(x) jest liniowy
2. jeżeli q=const., to wykres funkcji Q(x) jest liniowy, a funkcji M(x) paraboliczny (2
°
)
3. między M i Q zachodzą wszystkie zależności, jakie wynikają z własności pochodnej
dx
[ Pobierz całość w formacie PDF ]