pochodna cz, zz inne
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Instrukcja łopatologiczna do liczenia pochodnej cząstkowej drugiego rzędu po wielu
zmiennych
Oto przykładowa funkcja trzech zmiennych (podobne są na egzaminie)
f
x,y,z
=2x
2
z
lnx
−
z
3
xy
−15
Pierwszy krok, to wyliczenie pochodnych cząstkowych pierwszego rzędu
Pochodna pierwszego rzędu to zwykła pochodna po zmiennej.
Jeżeli liczymy pochodną z funkcji o trzech zmiennych po jednej ze zmiennych, to pozostałe
traktujemy jak liczby stałe
Obliczamy pochodne.
Metoda obliczania jest banalna- bierzemy każdą cząstkę funkcji i wyliczamy z niej pochodną
(chyba że mamy do czynienia z ilorazem, tam jest wzór nieco bardziej skomplikowany, ale liczę, że
każdy go zna, a jak nie to szybko pozna)
Pierwszapochodnapox
f
x
=2∗2x∗
z
1
x
−
z
3
y
−0=4xz
1
x
−
z
3
y
Pierwszapochodnapoy
f
y
=00−
z
3
x
−0=−
z
3
x
z
=2x
2
0−3z
2
xy
−0=2x
2
−3z
2
xy
Jeśli ktoś nie wie jak to zostało policzone, to polecam „Tablice matematyczne” strona 36
(przynajmniej w wydaniu z 2002r) . Tam są wszystkie pochodne jakie mogą się przydarzyć na
egzaminie, ale tych z arcusami etc raczej nie da.
Krok drugi to policzenie pochodnych cząstkowych drugiego rzędu.
Pochodna cząstkowa drugiego rzędu to także zwykłe liczenie pochodnych po każdej ze zmiennej,
tyle, że wyliczmy je z pochodnych pierwszego rzędu. Oznacza to, że dla każdej pochodnej
pierwszego rzędu wyliczamy pochodne po każdej zmiennej.
Łopatologicznie można to zapisać wzorem LP2=LP1*LZ gdzie:
LP2 to liczba pochodnych drugiego rzędu
LP1 liczba pochodnych pierwszego rzędu
LZ liczba zmiennych
Fakt, że LZ=LP1 to nie zbieg okoliczności ;)
Zapis pogodnej cząstkowej
2
f
oznacza, że liczymy drugą pochodną (patrz kwadrat w
liczniku) z której pochodnej cząstkowej, po której zmiennej. (patrz mianownik)
x
2
znaczy, że liczymy (pochodną po x) z ( pierwszej pochodnej po x)
x
y
znaczy, że liczymy (pochodną po y) z (pierwszej pochodnej po x)
Pierwzapochodnapoz
f
x
2
Zatem obliczamy
Drugie pochodne z pierwszej pochodnej po x
2
f
x
2
−0=4z−
1
x
2
x
y
=00−
z
3
=−
z
3
x
z
=4x0−3z
2
y
=4x−3z
2
y
Drugie pochodne z pierwszej pochodnej po y
2
f
y
2
=0
y
z
=−3z
2
x
Drugie pochodne z pierwszej pochodnej po z
2
f
z
y
=0−3z
2
x
=−3z
2
x
z
2
=0−3∗2
zxy
=−6zxy
I to by było na tyle, chyba że ktoś ma ochotę się popisać, to może wynik napisać w formie macierzy
zwanej Hesjanem
x
2
=4z−
1
2
f
2
f
y
x
=−
z
3
2
f
2
f
z
x
=2∗2x−3z
2
y
=4x−3z
2
y
2
f
2
f
Hesjan do powyższych pochodnym ma się następująco
[
]
=
[
4z−
1
x
2
−
z
3
4x−3z
2
y
x
2
2
f
2
f
x
z
]
x
y
H
=
2
f
y
x
2
f
y
2
2
f
y
z
−
z
3
0 −3z
2
x
4x−3z
2
y
−3z
2
x
−6zxy
2
f
z
x
2
f
z
y
2
f
z
2
Ładny kwadracik i koniec zadania ;)
~powodzenia na sesji ;)
2
f
[ Pobierz całość w formacie PDF ]